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\linespread{1.5}

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\title{}
\date{}

\frenchspacing

\begin{document}

\begin{flushleft}
\textbf{\large Probabilismo e Bayesianismo em Epistemologia} \newline
\textit{\normalsize Probabilism and Bayesianism in Epistemology}
\end{flushleft}
\begin{flushright}
Andr\'e Luiz de Almeida Lisb\^oa Neiva\let\thefootnote\relax\footnote{Mestrando em F\mbox{i}losof\mbox{i}a pela Pontif\'icia Universidade Cat\'olica do Rio Grande do Sul; Bolsista CNPq. E-mail: al.neiva@gmail.com.}
\end{flushright}

\thispagestyle{empty}


\textbf{Resumo}\newline
Este artigo pretende oferecer um quadro geral das bases te\'oricas do probabilismo e do Bayesianismo em epistemologia. Os principais conceitos e def\mbox{i}ni\c c\~oes do c\'alculo de probabilidades s\~ao fornecidos na se\c c\~ao $ 2 $; uma distin\c c\~ao entre tipos de probabilidade encontra-se na se\c c\~ao $ 3 $; o modelo de graus de cren\c ca como probabilidades subjetivas e a sua representa\c c\~ao em termos de quocientes de aposta s\~ao os temas da se\c c\~ao $ 4 $; duas restri\c c\~oes sincr\^onicas de racionalidade probabil\'istica s\~ao fornecidas na se\c c\~ao $ 5 $; restri\c c\~oes diacr\^onicas, condicionaliza\c c\~ao $ \S1 $ e $ \S2 $, e o teorema de Bayes s\~ao explicados na se\c c\~ao $ 6 $; a teoria Bayesiana de conf\mbox{i}rma\c c\~ao \'e o objeto central da se\c c\~ao $ 7 $; alguns dos principais problemas e obje\c c\~oes s\~ao discutidos na se\c c\~ao 8; por fim, as considera\c c\~oes f\mbox{i}nais e um ap\^endice contendo a demonstra\c c\~ao de alguns teoremas b\'asicos do aparato probabil\'istico.\newline
\textbf{Palavras-chave}\newline
Condicionaliza\c c\~ao. Confirma\c c\~ao. Graus de Cren\c ca. Probabilidade. Teorema de Bayes.\newline
\\
\textbf{Abstract}\newline
This paper aims to of\mbox{f}er an overview of the theoretical grounds of probabilism and Bayesianism in epistemology. The main concepts and def\mbox{i}nitions of the probability \emph{calculus} are provided in section 2; a distinction between some kinds of probability is given in section 3; the account of degrees of belief as subjective probabilities and their representation in terms of betting quotients are the topics of section 4; two constraints on probabilistic rationality are provided in section 5;  the diachronic constraints, conditionalization $ \S1 $ and $ \S2 $, and the Bayes' Theorem are explained in section 6; the Bayesian conf\mbox{i}rmation theory is the main concern of the section 7; some of the major problems and objections are discussed in section 8; so the f\mbox{i}nal remarks and an appendix containing the proof of certain basic theorems of the probability \emph{apparatus} are available in the end of this paper.\newline
\textbf{Keywords}\newline
Conditionalization. Confirmation. Degrees of Belief. Probability. Bayes' Theorem.

\newpage
\section{Preliminares}{% Espacamento de 1.5}
\hspace{1.25cm} Tornou-se bastante comum nos \'ultimos anos o uso de fer\mbox{}ramentas formais de outras \'areas em epistemologia anal\'itica: da l\'ogica, da teoria de probabilidade, da computa\c c\~ao, da sem\^antica, entre outras. Em particular, a introdu\c c\~ao de ideias e conceitos da teoria de probabilidade e do Bayesianismo em epistemologia tem aumentado significativamente\footnote{Segue uma lista de alguns textos representativos sobre probabilismo e Bayesianismo em epistemologia formal: Bovens e Hartmann (\citeyear{bovenshartmann2003}); Joyce (1998 e \citeyear{joyce2004}); H\'ajek (\citeyear{hajek2009}); H\'ajek e Hartmann (\citeyear{hajek2010bayesian}); Hartmann e Sprenger (\citeyear{hartmann2011bayesian}). Bradley (\citeyear{bradley2015}) e Weisberg (\citeyear{weisberg2015}, secs. 1 e 2) oferecem um excelente material introdut\'orio com enfoque no uso do maquin\'ario Bayesiano-probabil\'istico em epistemologia formal.}. Uma motiva\c c\~ao especial se deve ao fato do {\it calculus} probabil\'istico fornecer um aparato matem\'atico acurado para lidar com importantes temas epistemol\'ogicos: graus de cren\c ca modelados sob uma interpreta\c c\~ao de probabilidades subjetivas ou {\it credences}, estruturas formais de revis\~ao e atualiza\c c\~ao dos graus de cren\c ca, racionalidade e coer\^encia probabil\'isticas, os conceitos de confirma\c c\~ao absoluta e incremental, entre outros.\newline
\hspace*{1.25cm} Mas o que s\~ao o probabilismo e o Bayesianismo? Probabilismo \'e a concep\c c\~ao que prop\~oe, diferentemente do modelo \emph{mainstream} de cren\c ca em epistemologia\footnote{O modelo de cren\c ca {\it simpliciter}, ou modelo de cren\c ca tudo-ou-nada, n\~ao considera cren\c cas de agentes dox\'asticos em termos de grada\c c\~oes em um determinado intervalo. Um agente {\it S} cr\^e ou n\~ao (ou suspende o ju\'izo), em termos absolutos, numa certa proposi\c c\~ao {\it p} em um dado instante {\it t}.}, que cren\c cas de agentes dox\'asticos s\~ao uma quest\~ao de graus, modeladas em termos de probabilidades subjetivas ou {\it credences}. Graus de cren\c ca, contudo, precisam satisfazer as regras do maquin\'ario probabil\'istico para que sejam racionais ou, em sentido mais estrito, coerentes probabilisticamente. Por sua vez, Bayesianismo \'e uma teoria que estabelece modos pelos quais graus de cren\c ca devem ser modificados atrav\'es do tempo, a saber, em conformidade com regras de revis\~ao e atualiza\c c\~ao: e.g., o princ\'ipio de condicionaliza\c c\~ao estrita em combina\c c\~ao com o teorema de Bayes. Nessa perspectiva, tais regras oferecem um esquema de como agentes racionais devem mudar seus graus de cren\c ca em resposta a novas evid\^encias adquiridas.

\section{Axiomas, Regras e Defini\c c\~oes do C\'alculo de Probabilidades}{% Espacamento de 1.5}
\hspace{1.25cm} Assumindo que $Pr( \ \cdot \ )$ \'e uma fun\c c\~ao de probabilidade e $F$ \'e um campo ou \'algebra, tal que $F$ \'e um conjunto f\mbox{i}nito de proposi\c c\~oes fechado sob implica\c c\~ao verofuncional sobre um conjunto de possibilidades $\Omega$ $\neq$ $\emptyset$ ($F$ \'e um conjunto de subconjuntos de $ \Omega $), temos os seguintes axiomas de probabilidade (axiomas de Kolmogorov\footnote{A axiomatiza\c c\~ao de Kolmogorov (\citeyear{kolmogorov1956foundations}, cap. 1, p. 2) \'e comumente apresentada na linguagem da teoria dos conjuntos. Pode-se, no entanto, tra\c car algumas equival\^encias entre os operadores da teoria dos conjuntos e os de l\'ogica proposicional: $P \land Q$ corresponde a $P \cap Q$, $P \lor Q$ corresponde a $P \cup Q$ e $\lnot P$ corresponde a $\bar P$. As regras do {\it calculus} expostas aqui s\~ao comumente apresentadas em diversos manuais cl\'assicos sobre o assunto (Howson e Urbach, \citeyear{howson2006scientific}, cap. 2, p. 13-44; Hacking, \citeyear{hacking2001introduction}, cap. 6, p. 58-68; H\'ajek, \citeyear{hajek2011interpretations}, sec. 1; Earman, \citeyear{earman1992bayes}, cap. 2, p. 33-62).}), onde $Pr:F \longrightarrow \Re$ --- tal que $p \in F$ e $q \in F$ --- \emph{sse}\footnote{Abrevia\c c\~ao da express\~ao \textquoteleft se e somente se\textquoteright.}:\newline
\newline
(1) $0 \leq Pr(p) \leq 1$;\newline
(2) $Pr(\Omega) = 1$;\newline
(3) Se $p$ e $q$ s\~ao mutuamente exclusivas\footnote{Duas ou mais proposi\c c\~oes s\~ao mutuamente exclusivas quando apenas uma delas pode ser verdadeira.} (ou incompat\'iveis), $Pr(p \lor q) = Pr(p) + Pr(q)$.\newline
\newline
\hspace*{1.25cm} O axioma (1) \'e conhecido como n\~ao-negatividade, o (2) como certeza ou normaliza\c c\~ao e o (3) como aditividade finita\footnote{O axioma (3) pode ser reformulado para aditividade cont\'avel. Se $ F $ \'e um conjunto fechado sob inf\mbox{i}nitas disjun\c c\~oes cont\'aveis --- $ p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ \dots \ , p_{n}$ formam um conjunto inf\mbox{i}nito de proposi\c c\~oes mutuamente exclusivas ---, ent\~ao $ Pr(p_{1} \lor p_{2} \lor p_{3} \lor \dots \ p_{n}) = Pr(p_{1}) + Pr(p_{2}) + Pr(p_{3}) + \dots + Pr(p_{n}) $.}. $ \langle \Omega, F, Pr \rangle $ \'e conhecido como espa\c co de probabilidade ({\it probability space}), sendo $ Pr( \ \cdot \ ) $ uma fun\c c\~ao que mapeia os n\'umeros reais do intervalo $ [0,1] $ sobre $ F $. Em outras palavras, os valores de probabilidade atribu\'iveis a proposi\c c\~oes situam-se em um intervalo, $[0,1]$, que inclui os n\'umeros reais.\newline
\hspace*{1.25cm} O axioma (2), tipicamente, assume uma formula\c c\~ao que determina o valor m\'aximo a tautologias. Uma varia\c c\~ao de (2) pode ser formulada:\newline
(2') Se $p$ \'e tautol\'ogica, $Pr(p) = 1$;\newline
\hspace*{1.25cm} Algumas consequ\^encias l\'ogicas podem ser derivadas dos axiomas acima. Dentre elas, a probabilidade de $p \lor \lnot p$ tem o valor aferido igual a $1$. $Pr(p \lor \lnot p) = 1$, uma vez que $p$ e $\lnot p$ s\~ao mutuamente exclusivas (e logicamente contradit\'orias) e, por conseguinte, pelo axioma (3), $Pr(p \lor \lnot p) = Pr(p) + Pr(\lnot p)$; mas, por sua vez, $p \lor \lnot p$ \'e uma tautologia e, pelo axioma (2'), $Pr(p \lor \lnot p) = 1$. Outra \'e se $ Pr(p \lor \lnot p) = 1 $ e $ Pr(p \lor \lnot p) = Pr(p) + Pr(\lnot p) $, ent\~ao $ Pr(p) + Pr(\lnot p) = 1 $. Portanto, $ Pr(\lnot p) = 1 - Pr(p)$. \newline
\hspace*{1.25cm} Ademais, existem casos nos quais duas ou mais proposi\c c\~oes s\~ao compat\'iveis, ou seja, n\~ao formam um conjunto de proposi\c c\~oes mutuamente exclusivas e a sua conjun\c c\~ao \'e logicamente consistente. Em tal circunst\^ancia, alegadamente, a probabilidade da disjun\c c\~ao \'e o resultado da soma das probabilidades dos disjunctos com a subtra\c c\~ao da probabilidade da conjun\c c\~ao. H\'a um teorema conhecido como {\it overlap} para proposi\c c\~oes n\~ao mutuamente exclusivas. Formalmente, ele pode ser colocado como se segue:\begin{displaymath}
 Pr(p \lor q) = Pr(p) + Pr(q) - Pr(p \land q) 
\end{displaymath}
\hspace*{1.25cm} O axioma (3) simplesmente fixa o valor $0$ para a probabilidade da conjun\c c\~ao em situa\c c\~oes em que duas ou mais proposi\c c\~oes, os \emph{conjunctos}\footnote{O termo `conjuncto' est\'a sendo usado em sentido t\'ecnico aqui. \emph{Conjunctos} s\~ao, por assim dizer, proposi\c c\~oes at\^omicas que conectadas pelo operador de conjun\c c\~ao ($ \land $) formam uma proposi\c c\~ao molecular ou composta.} da proposi\c c\~ao molecular, s\~ao incompat\'iveis em conjunto. Por exemplo, a probabilidade de contradi\c c\~oes l\'ogicas \'e igual a $ 0 $: $ Pr(p \land \lnot p) = 0 $. Pelo axioma (2'), depreende-se que $ Pr[\lnot (p \land \lnot p)] = 1 $, visto que $ \lnot (p \land \lnot p) $ \'e uma tautologia. No entanto, $ Pr[\lnot (p \land \lnot p)] = 1 - Pr(p \land \lnot p)$ e, como $ Pr[\lnot (p \land \lnot p)] = 1 $, conclui-se que $ Pr(p \land \lnot p) = 0$.\newline
\hspace*{1.25cm} Existem outras regras importantes do c\'alculo de probabilidades. Se as proposi\c c\~oes $p$ e $q$ s\~ao logicamente equivalentes, $p \equiv q$, ent\~ao os valores de probabilidade delas s\~ao iguais\footnote{A demonstra\c c\~ao de tal teorema est\'a dispon\'ivel no ap\^endice deste texto.}. Por exemplo, a probabilidade da proposi\c c\~ao {\it para todo x, se x \'e corvo, ent\~ao x \'e preto} \'e igual \`a probabilidade da proposi\c c\~ao {\it para todo x, se x n\~ao \'e preto, ent\~ao x n\~ao \'e corvo}\footnote{$[\forall x(Rx \rightarrow Bx)] \equiv [\forall x(\lnot Bx \rightarrow \lnot Rx)]$ \'e uma equival\^encia l\'ogica conhecida como transposi\c c\~ao. Por conseguinte, $Pr[\forall x(Rx \rightarrow Bx)] = Pr[\forall x(\lnot Bx \rightarrow \lnot Rx)]$.}.\newline
\hspace*{1.25cm} No caso em que uma proposi\c c\~ao acarreta logicamente a outra, o valor de probabilidade da proposi\c c\~ao acarretada n\~ao pode ser menor do que o da proposi\c c\~ao que a acarreta: se $ p \vDash q $, ent\~ao $ Pr(p) \leq Pr(q) $. A \'unica possibilidade, que est\'a dispon\'ivel no ap\^endice, de $Pr(q) = Pr(p)$ \'e sob a condi\c c\~ao de que $Pr(\lnot p \land q) = 0$.\newline
\hspace*{1.25cm} At\'e aqui falamos apenas de probabilidade categ\'orica, a saber, probabilidade incondicionada. \'E de bom alvitre, no entanto, introduzir a no\c c\~ao de probabilidade condicional, expressa na nota\c c\~ao {\it $Pr( \cdot\mid\cdot )$}.\newline
\hspace*{1.25cm} Suponha um dado de seis faces (lados) e com um mecanismo justo de jogadas (tentativas) --- o conceito de justo ({\it fair}) significa que o mecanismo de jogadas n\~ao \'e viciado (n\~ao-enviesado) e os eventos em inst\^ancias individuais s\~ao independentes entre si, isto \'e, os resultados em ocor\mbox{}r\^encias $t_{1}, \ t_{2}, \ \dots \ ,t_{n}$ n\~ao se influenciam entre si ---, a probabilidade de sair/obter o n\'umero $2$ em uma determinada inst\^ancia particular \'e $ \frac{1}{6} $; nesse exemplo, $Pr(obter \ o \ resultado \ 2) = \frac{1}{6} $, uma vez que s\~ao seis resultados poss\'iveis, a saber, o conjunto de possibilidades encerra $6$ resultados simples ou o espa\c co de amostra ({\it sample space}) \'e $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$. Agora, usando o mesmo dado, considere a probabilidade de sair/obter o n\'umero $2$ condicionado ao fato de sair/obter um n\'umero par, nomeadamente, $Pr(obter \ 2 \mid obter \ par)$. O resultado de sair um n\'umero par encerra tr\^es possibilidades de resultados, o subconjunto $\{2,4,6\}$ do conjunto maior $\Omega$, o que lhe confere a probabilidade de $ \frac{1}{2} $, j\'a que ou \'e par ou \'e \'impar. Dessa maneira, $Pr(obter \ 2 \mid obter \ par) = \frac{1}{3}$ porque dos tr\^es resultados poss\'iveis de n\'umeros pares somente um resultado \'e o n\'umero $2$; por assim dizer, somente o n\'umero $2$ satisfaz as duas condi\c c\~oes: ser par e ser propriamente o n\'umero $2$. \newline
\hspace*{1.25cm} A defini\c c\~ao de probabilidade condicional, $Pr(p \mid q)$ significa a probabilidade de $p$ condicionada em $q$ (ou a probabilidade de $p$, dado que $q$), pode ser apresentada formalmente. Para quaisquer proposi\c c\~oes $ p $ e $ q $ e assumindo que $Pr(q) > 0$:\begin{displaymath}
Pr(p \mid q) = \frac{Pr(p \ \land \ q)}{Pr(q)}
\end{displaymath}
\hspace*{1.25cm} Outra defini\c c\~ao fundamental do c\'alculo de probabilidades \'e a de independ\^encia. Duas proposi\c c\~oes $ p $ e $ q $ s\~ao independentes, assumindo que $ Pr(p) > 0 $ e $ Pr(q) > 0 $, se e somente se $ Pr(p \mid q) = Pr(p) $.\newline
\hspace*{1.25cm} Um corol\'ario das defini\c c\~oes de probabilidade condicional e independ\^encia \'e a que se segue. Suponha que $ p $ e $ q $ s\~ao independentes entre si e que $ Pr(p) > 0 $ e $ Pr(q) > 0 $. Assim, $ Pr(p \mid q) = Pr(p)$. Mas, pela defini\c c\~ao de probabilidade condicional, $ Pr(p \mid q) = \frac{Pr(p \ \land \ q)}{Pr(q)} $. Por conseguinte, $ Pr(p) = \frac{Pr(p \ \land \ q)}{Pr(q)} $. Portanto, $ Pr(p \ \land \ q) = Pr(p) \times Pr(q) $.\newline
\hspace*{1.25cm} Al\'em disso, podemos dizer que se $ p $ e $ q $ s\~ao independentes, ent\~ao $ q $ \'e irrelevante para a probabilidade de $ p $ e, igualmente, $ p $ \'e irrelevante para a probabilidade de $ q $. Em outras palavras, $ q $ n\~ao contribui no valor de probabilidade de $ p $ e vice-versa. Trata-se de uma rela\c c\~ao sim\'etrica. Se $ Pr(p \mid q) = Pr(p) $, ent\~ao $ Pr(q \mid p) = Pr(q) $ e se $ Pr(q \mid p) = Pr(q) $, ent\~ao $ Pr(p \mid q) = Pr(p) $. Portanto, $ Pr(p \mid q) = Pr(p) $ \emph{sse} $ Pr(q \mid p) = Pr(q) $.\newline
\hspace*{1.25cm} Podemos, nesta altura, falar sobre a no\c c\~ao de probabilidade total. Essa e a defini\c c\~ao de probabilidade condicional s\~ao decisivas para o Bayesianismo. A rigor, consegue-se a demonstra\c c\~ao do teorema de Bayes pela combina\c c\~ao das duas. Para quaisquer proposi\c c\~oes $ p $ e $ q $ e assumindo que $ 1 > Pr(q) > 0 $:\begin{displaymath}
Pr(p) = Pr(q) \times Pr(p \mid q) + Pr(\lnot q) \times Pr(p \mid \lnot q)
\end{displaymath}
\hspace*{1.25cm} Finalmente, precisamos considerar que nunca a probabilidade da conjun\c c\~ao pode ser maior do que a probabilidade de qualquer um dos seus \emph{conjunctos} isolados, a saber, $ Pr(p \ \land \ q) \leq Pr(p)$ e $ Pr(p \ \land \ q) \leq Pr(q)$. Todavia, em circunst\^ancias em que $ p $ acarreta logicamente $ q $, a probabilidade de $ p $ \'e igual \`a probabilidade da conjun\c c\~ao $ p \ \land \ q $. Formalmente, se $ p \vDash q $, ent\~ao $ p \equiv (p \ \land \ q) $ e, logo, $ Pr(p) = Pr(p \ \land \ q)$.

\section{Tipos de Probabilidade}{% Espacamento de 1.5}
\hspace*{1.25cm} Apresentamos na se\c c\~ao anterior o maquin\'ario formal probabil\'istico b\'asico, com exce\c c\~ao do teorema de Bayes e das regras de condicionaliza\c c\~ao (objetos da se\c c\~ao $ 6 $). Nesta se\c c\~ao, vamos nos ocupar com tr\^es conceitos ou tipos distintos de probabilidade. Assim, de acordo com a classifica\c c\~ao proposta por D. H. Mellor (\citeyear{mellor2005probability}, cap. 1, p. 8-13), podemos fazer uma distin\c c\~ao entre probabilidade f\'isica ou natural ({\it chance}), probabilidade epist\^emica e probabilidade subjetiva ou pessoal ({\it credences})\footnote {Existem outras tipologias na literatura sobre probabilidade. Carnap (\citeyear{carnap1962logical}, cap. 2, p. 19) diferencia somente dois tipos de probabilidade: $ tipo_{1} $ \'e o grau de confirma\c c\~ao de uma hip\'otese, dado um conjunto de evid\^encias que a suporta e o $ tipo_{2} $ \'e entendido como {\it frequency-type}, a saber, a frequ\^encia relativa na qual um evento do mundo f\'isico ocorre.}.\newline
\hspace*{1.25cm} Considere as proposi\c c\~oes abaixo:\newline
(a) Este dado \'e justo, a probabilidade de sair o resultado de n\'umero $ 2 $ \'e $ \frac{1}{6} $;\newline
(b) \'E muito prov\'avel que o Universo teve um in\'icio;\newline
(c) Estou confiante, provavelmente o Inter vencer\'a o Gre-nal, aposto $ 4 \ \colon 1 $ a favor do Inter.\newline
\hspace*{1.25cm} Com efeito, (a) refere-se a um tipo de probabilidade conhecida como {\it chance} ou probabilidade f\'isica. Presumivelmente, tal tipo de probabilidade descreve uma propriedade f\'isica do mundo. \'E, nesse sentido, objetiva e independente do que se passa na vida mental de um agente, isto \'e, independente se algu\'em em algum momento a considerou e soube ou sabe a respeito dela. H\'a diferentes explica\c c\~oes sobre o que s\~ao probabilidades f\'isicas. Uma abordagem baseada em {\it frequ\^encia relativa} interpreta (a) da seguinte maneira: em uma longa sequ\^encia de um total de $ n $ jogadas repetidas de um determinado dado --- desde que $ n $ satisfa\c ca um limiar de valor ({\it threshold}) que caracterize uma longa sequ\^encia de jogadas ---, a probabilidade de sair o resultado de n\'umero $ 2 $ \'e a {\it frequ\^encia relativa} desse resultado no conjunto de $ n $ jogadas. \'E a propor\c c\~ao que tal resultado acontece no conjunto total de jogadas em uma longa sequ\^encia finita. Uma explica\c c\~ao discrepante, todavia, recorre ao uso do conceito de {\it propens\~ao} ou {\it disposi\c c\~ao}. Nessa perspectiva, (a) \'e interpretada como expressando uma determinada tend\^encia de sair o resultado de n\'umero $ 2 $ frente \`as outras possibilidades. Supondo que a probabilidade de cada um dos poss\'iveis resultados, $ \{1,2,3,4,5,6\} $, \'e $ \frac{1}{6} $, haveria uma distribui\c c\~ao equ\^anime de probabilidade para cada um dos resultados. Isso envolveria considera\c c\~oes sobre a f\'isica do dado: o {\it modo} como ele \'e jogado, a {\it simetria} das disposi\c c\~oes para cada resultado poss\'ivel. Podemos testar {\it empiricamente} um mecanismo de jogadas (do dado) a fim de verificarmos se o resultado de $ 2 $ ocorre em propor\c c\~ao igual ou n\~ao aos outros resultados. De todo modo, (a) descreve como o mundo funciona e \'e verdadeira ou falsa independentemente se podemos saber ou n\~ao de tal fato\footnote{Sobre interpreta\c c\~oes e an\'alises da fun\c c\~ao probabil\'istica em geral, ver H\'ajek (2011). Gillies (\citeyear{gillies2000philosophical}) oferece um bom material acerca de interpreta\c c\~oes frequentistas (cap. 5) e propensitivas (caps. 6 e 7).}.\newline
\hspace*{1.25cm} Por seu turno, (b) n\~ao descreve uma caracter\'istica f\'isica do mundo. Ela enuncia, alegadamente, a probabilidade de uma hip\'otese. Por exemplo, a hip\'otese cosmol\'ogica do {\it Big Bang} \'e uma explica\c c\~ao amplamente aceita na comunidade cient\'ifica sobre o surgimento do Universo (em disputa com a hip\'otese do estado estacion\'ario). Hip\'oteses cient\'ificas, por sua vez, est\~ao ancoradas em evid\^encias e, admitidamente, pode-se mensurar {\it qu\~ao bem}, e {\it em que grau}, evid\^encias dispon\'iveis suportam diferentes hip\'oteses. Na verdade, (b) precisa ser reformulada, pois parece correto afirmar que, considerando um determinado conjunto de evid\^encias, a hip\'otese em quest\~ao em (b) \'e prov\'avel. Est\'a impl\'icito essa rela\c c\~ao de suporte. Por isso, \'e mais apropriado que:\newline
(b') Dado todo o conjunto dispon\'ivel de evid\^encias astron\^omicas, \'e muito prov\'avel que o Universo teve um in\'icio.\newline
\hspace*{1.25cm} Destarte, (b') reporta-se a um tipo diferente de probabilidade: epist\^emica ou evidencial. Probabilidades epist\^emicas est\~ao condicionadas em evid\^encia(s), o que n\~ao \'e necessariamente verdadeiro para as probabilidades f\'isica e subjetiva. Essa \'e uma marca distintiva da natureza da probabilidade epist\^emica. Como veremos mais adiante, graus de confirma\c c\~ao interpretados como probabilidades epist\^emicas, que pretendem medir {\it absolutamente} ou {\it incrementalmente} o suporte que um conjunto de evid\^encias oferece a uma hip\'otese, est\~ao condicionados em toda evid\^encia dispon\'ivel: $ e_{t} = e_{1} \land e_{2} \land \dots e_{n} \land k $, a saber, partes da evid\^encia $ + $ conhecimento de fundo ({\it background knowledge}). Nessa perspectiva, tais probabilidades mensuram {\it qu\~ao forte} um conjunto total de evid\^encias dispon\'iveis, $ e_{t} $, torna uma determinada hip\'otese, $ h $, prov\'avel, isto \'e, em que {\it grau} a confirma, ou a desconfirma, ou, ainda, se a evid\^encia \'e neutra em rela\c c\~ao \`a hip\'otese\footnote {\'E mat\'eria de controv\'ersia se probabilidades epist\^emicas podem ser {\it l\'ogicas}. Se isso \'e o caso, ent\~ao graus de confirma\c c\~ao poderiam ser estabelecidos por uma l\'ogica indutiva, de modo an\'alogo \`as rela\c c\~oes de acarretamento ({\it entailment}) da l\'ogica dedutiva, funcionando como uma extens\~ao das l\'ogicas proposicional e de primeira-ordem.}.\newline
\hspace*{1.25cm} Por \'ultimo, (c) descreve um tipo distinto: probabilidades subjetivas ou {\it credences}. A afirma\c c\~ao (c)  n\~ao descreve, em absoluto, uma caracter\'istica do mundo e pode ou n\~ao estar apoiada em evid\^encias. De todo modo, (c) exp\~oe uma disposi\c c\~ao de um agente em apostar num certo grau que uma certa proposi\c c\~ao \'e verdadeira. \'E uma concep\c c\~ao intimamente vinculada \`a teoria da decis\~ao e tais probabilidades est\~ao associadas a contextos que comportamentos de apostas ({\it betting behaviour}) ocorrem. Nesse sentido, quocientes de aposta ({\it betting quotients}) oferecem uma representa\c c\~ao num\'erica a graus de cren\c ca. Mostraremos na pr\'oxima se\c c\~ao como \'e poss\'ivel equipar\'a-los. Em linhas gerais, probabilidades subjetivas determinam em que medida e {\it qu\~ao fortemente} um agente dox\'astico cr\^e em proposi\c c\~oes. A alega\c c\~ao de fundo \'e que cremos mais ou menos fortemente em proposi\c c\~oes e que podemos modelar probabilisticamente tais atitudes dox\'asticas. Pode-se representar que a cren\c ca em uma proposi\c c\~ao $ p $ tem um determinado valor $ \varepsilon $ dentro de um intervalo num\'erico, $ [0,1] $, relativamente a um agente $ S $ num dado instante $ t $.

\section{Graus de Cren\c ca e Quocientes de Aposta}{% Espacamento de 1.5}
\hspace{1.25cm} Uma das principais teses do probabilismo e do Bayesianismo \'e a de que existem graus de cren\c ca e que \'e poss\'ivel represent\'a-los formalmente sob a estrutura do {\it calculus} probabil\'istico, \emph{i.e.}, graus modelados em termos de \emph{credences}. Assim, podemos ter uma variedade de graus de cren\c ca em rela\c c\~ao a diferentes proposi\c c\~oes e, {\it ipso facto}, podemos ter maior grau de cren\c ca em uma determinada proposi\c c\~ao do que em compara\c c\~ao aos graus de cren\c ca que temos em outras proposi\c c\~oes.\newline
\hspace*{1.25cm} O modelo de graus de cren\c ca, em todo caso, est\'a conectado a disposi\c c\~oes e comportamentos de aposta: a inclina\c c\~ao de agentes apostarem sobre a verdade de proposi\c c\~oes\footnote{Tradi\c c\~ao de interpreta\c c\~ao subjetiva da fun\c c\~ao de probabilidade que remete a Frank P. Ramsey em {\it Truth and Probability} (\citeyear{ramsey1950}, [1926]) e Bruno de Finetti em {\it Foresight: its Logical Laws, its Subjective Sources} (\citeyear{definetti1964}, [1937]).}. Quocientes de aposta ({\it betting quotients}) oferecem uma medida num\'erica \`a concep\c c\~ao de graus de cren\c ca. O grau $ \varepsilon $ de cren\c ca na proposi\c c\~ao $ r $ de um agente $ S $ corresponde \`a disposi\c c\~ao de $ S $ apostar que $ r $ \'e verdadeira ou falsa. Por exemplo, se algu\'em tem um quociente de aposta de $ \frac{3}{5} $ (ou $ .6 $) que {\it vai chover hoje \`a noite em Porto Alegre} ($ r $) --- e de $ \frac{2}{5} $ (ou $ .4 $) que {\it n\~ao vai chover hoje \`a noite em Porto Alegre} ($ \lnot r $) ---, significa dizer que tal agente tem um grau de cren\c ca maior de que {\it vai chover hoje \`a noite em Porto Alegre} do que n\~ao\footnote{Em tal situa\c c\~ao, o agente \'e, sob certo aspecto, {\it coerente probabilisticamente} em uma dada inst\^ancia de tempo $ t $, pois $ Pr(r \lor \lnot r) = 1 $. Falaremos de condi\c c\~oes sincr\^onicas de coer\^encia probabil\'istica no pr\'oximo t\'opico.}. \newline
\hspace*{1.25cm} Vamos propor um experimento mental. Suponha, por exemplo, que dois agentes $ S_{1} $ e $ S_{2} $ fa\c cam uma aposta. $ S_{1} $ aposta $ N $ que $ r $ e $ S_{2} $ aposta $ M $ que $ \lnot r $. O montante (ou totaliza\c c\~ao) das apostas de $ S_{1} $ e $ S_{2} $, $ N + M $, \'e chamado de {\it stake}. A f\'ormula do quociente de aposta de cada um dos apostadores envolvidos, por sua vez, \'e a {\it raz\~ao} ({\it ratio}) do valor de aposta pelo {\it stake}:\begin{displaymath}
(i) \ Quociente \ de \ aposta \ de \ S_{1} = \frac{N}{(N \ + \ M)}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
(ii) \ Quociente \ de \ aposta \ de \  S_{2} = \frac{M}{(N \ + \ M)}
\end{displaymath}
\hspace*{1.25cm} Supondo a grandeza $ u $ de {\it utiles}\footnote{{\it Utiles} \'e uma medida artificial de utilidade. Podemos, igualmente, falar de uma moeda como o valor implicado na aposta, o real R\$, por exemplo. Uma proposta atraente \'e a convers\~ao de v\'arios tipos diferentes de utilidade em uma mesma grandeza.}, se $ N = 4u $ e $ M = 1u $, ent\~ao $ S_{1} $ aposta $ 4u $ a favor de $ r $ e $ S_{2} $ aposta $ 1u $ a favor de $ \lnot r $, o que perfaz um total apostado ({\it stake}) de $ 5u $. Por conseguinte, se $ r $ \'e o caso, ent\~ao $ S_{1} $ tem um lucro de $ 1u $. Se $ \lnot r $ \'e o caso, ent\~ao $ S_{2} $ tem um lucro de $ 4u $. A perda (monet\'aria ou de utilidade) de $ S_{2} $ \'e de $ 1u $ se $ r $ \'e o caso e a de $ S_{1} $ \'e de $ 4u $ se $ \lnot r $ \'e o caso. Portanto, o quociente de aposta de $ S_{1} $ \'e de $ \frac{4}{5} $ a favor de $ r $ e o de $ S_{2} $ \'e de $ \frac{1}{5} $ a favor de $ \lnot r $.\newline
\hspace*{1.25cm} Algumas considera\c c\~oes s\~ao decisivas. Primeira, apostar a favor de $ r $ equivale a apostar contra $ \lnot r $ e apostar a favor de $ \lnot r $ equivale a apostar contra $ r $. No exemplo acima, $ S_{1} $ aposta $ \frac{4}{5} $ contra $ \lnot r $ e $ S_{2} $ aposta $ \frac{1}{5} $ contra $ r $. Segunda, apostas envolvem risco: o apostador pode ganhar ou perder. No entanto, n\~ao significa que estamos falando de apostadores atuais e comportamentos concretos de aposta. O benef\'icio da conversa sobre quocientes de aposta consiste exclusivamente na obten\c c\~ao de uma representa\c c\~ao num\'erica para graus de cren\c ca. Na verdade, as apostas envolvidas no experimento mental anterior s\~ao meramente {\it hipot\'eticas}. Terceira, podemos converter quocientes de aposta, que representam graus de cren\c ca, para {\it odds}, talvez mais popular entre jogadores e apostadores do mundo anglo-sax\^onico. Assim, ao passo que $ S_{1} $ aposta $ 4 \ \colon 1 $ a favor de $ r $, $ S_{2} $ aposta $ 4 \ \colon 1 $ contra $ r $. Quarta, est\'a pressuposto no experimento mental que os quocientes de aposta s\~ao justos ({\it fair betting quotients}). Significa dizer que um agente $ S $ considera que n\~ao h\'a vantagem (ou desvantagem) nem em apostar a favor de $ r $ com quociente de $ \varepsilon $, nem em apostar contra $ r $ com quociente de $ 1 - \varepsilon $; isto vale para ambos agentes, $ S_{1} $ e $ S_{2} $, do experimento acima\footnote{Pode-se conceber quocientes de aposta condicionais: apostar em $ r $, dado que $ s $ ou apostar em $ \lnot r $, dado que $ s $. S\~ao cen\'arios similares ao experimento descrito acima, por\'em com a condi\c c\~ao de que $ s $ seja o caso. Caso $ s $ n\~ao seja o caso, a aposta \'e, por assim dizer, anulada: os jogadores envolvidos nem ganham e nem perdem nada.}. Quinta, \'e um \emph{desideratum} epist\^emico que graus de cren\c ca, representados por probabilidades subjetivas, estejam condicionados em (boa) evid\^encia, o que lhes confere, em acr\'escimo de outras restri\c c\~oes, uma chancela de \emph{graus racionais de cren\c ca}. No entanto, h\'a disputa, como veremos, se os \emph{priors}, graus de cren\c ca anteriores, podem ou n\~ao estar condicionados em alguma restri\c c\~ao adicional, \emph{e.g.} o princ\'ipio de indiferen\c ca, como defende o Bayesianismo objetivo. Sexta, o grau de cren\c ca $ \chi $ de um agente $ S $ pode ter um valor preciso, \emph{a sharp value}, $ \chi \in [0,1] $ (ou $ 0 \leq \chi \leq 1 $, por exemplo $ \chi = .5 $) , ou impreciso, \emph{an unsharp value}, onde $ \chi $ \'e todo intervalo $ [a,b] $ tal que $ [a,b] \subseteq [0,1] $. Neste \'ultimo caso, um intervalo inteiro, um subconjunto de um intervalo maior, \'e tomado como sendo o grau de cren\c ca de um agente.

\section{Restri\c c\~oes Sincr\^onicas}{% Espacamento de 1.5}
\hspace{1.25cm} Falamos na se\c c\~ao anterior como \'e poss\'ivel atribuir uma representa\c c\~ao quantitativa a graus de cren\c ca, i.e., pelos quocientes de aposta. Precisamos, todavia, perguntar-nos por que raz\~ao, e sob quais condi\c c\~oes, graus de cren\c ca (e quocientes de aposta) precisam ser probabilisticamente coerentes: por que graus de cren\c ca devem obedecer o {\it calculus} probabil\'istico?\footnote{O argumento do \emph{Dutch Book} \'e considerado o argumento cl\'assico a favor do probabilismo. Existem, entretanto, argumentos com estrat\'egias diferentes a favor de tal tese. Joyce (\citeyear{joyce1998nonpragmatic}) oferece um argumento baseado na acur\'acia dos graus de cren\c ca, onde a acur\'acia \'e medida, para qualquer proposi\c c\~ao $ p $, pela diferen\c ca entre uma fun\c c\~ao de valor de verdade $ w(p) $ e uma fun\c c\~ao de graus de cren\c ca $ Cr(p) $. Isso nos fornece um \emph{score} e quanto maior o \emph{score}, menos acurado \'e o grau de cren\c ca. Maher (\citeyear{maher1993betting}) articula um argumento baseado no teorema representacional e na no\c c\~ao de prefer\^encias, onde estas precisam obedecer certas restri\c c\~oes b\'asicas de racionalidade. Para um \emph{survey} de tais posi\c c\~oes, recomenda-se ver H\'ajek (2009) e Bradley (2015, cap. 3).}\newline
\hspace*{1.25cm} Suponha, agora, que um agente $ S $ tenha os seguintes quocientes de aposta: $ \frac{3}{5} $ a favor de $ r $ ($ .6 $ a favor de $ r $) e $ \frac{3}{5} $ contra $ r $ ($ .6 $ contra $ r $). Com base nos quocientes de $ S $, um dono de uma casa de apostas muito matreiro oferece um contrato a $ S $ e determina sob que condi\c c\~oes ele pode apostar: $ S $ aposta R\$ $ 3 $ a favor de $ r $ (contra $ \lnot r $) podendo lucrar R\$ $ 2 $ e $ S $ aposta R\$ $ 3 $ contra $ r $ (a favor de $ \lnot r $) podendo lucrar R\$ $ 2 $ igualmente. Se $ S $ aceitar a proposta oferecida, ele {\it certamente} perder\'a, de acordo com a tabela abaixo na coluna do {\it Saldo}:\newline
\\
\begin{tabular}{lccc}
\ & {\it Aposta a favor de $ r $} & {\it Aposta contra $ r $} & {\it Saldo} \\
\hline
$ r $ & $ + $ R\$ $ 2 $ & $ - $ R\$ $ 3 $ & $ - $ R\$ $ 1 $ \\
$ \lnot r $ & $ - $ R\$ $ 3 $ & $ + $ R\$ $ 2 $ & $ - $ R\$ $ 1 $ \\

\end{tabular}
\\

\hspace*{1.25cm} O cen\'ario acima mostra que um conjunto de quocientes de aposta incoerente probabilisticamente --- ou seja, que viola o maquin\'ario probabil\'istico --- est\'a suscet\'ivel a um contrato de perda garantida ou a um {\it Dutch Book}. Analogamente, de acordo com o argumento do {\it Dutch Book}, um conjunto de graus de cren\c ca (de um agente dox\'astico) que n\~ao satisfaz o {\it calculus} de probabilidade \'e, da mesma forma, incoerente. Em outras palavras, se os graus de cren\c ca de um agente dox\'astico $ S $ n\~ao obedecem os axiomas e regras de probabilidade, ent\~ao $ S $ est\'a vulner\'avel a um contrato de perda garantida e poder-se-ia alegar incoer\^encia no seu conjunto de graus de cren\c ca\footnote{\'E o que se entende por {\it Dutch Book Theorem}. Mas se os graus de cren\c ca (e os quocientes de aposta) de um agente $ S $ satisfazem o {\it calculus} probabil\'istico, ent\~ao n\~ao existe um conjunto de apostas que torna $ S $ vulner\'avel a um contrato de perda garantida. Isso \'e conhecido como {\it Converse Dutch Book Theorem}, mais informa\c c\~oes em Vineberg (\citeyear{vineberg2011}, sec. 1.3) e H\'ajek (2009, p. 233). Provas do {\it Dutch Book Theorem} em Earman (1992, p. 39-40) e do {\it Converse Dutch Book Theorem} em Kemeny (\citeyear{kemeny1955fair}, p. 268-269).}.\newline
\hspace*{1.25cm} O argumento do {\it Dutch Book} \'e frequentemente constru\'ido como se segue\footnote{Vers\~oes similares ao argumento apresentado aqui em Bradley (2015, cap. 3, p. 32), Hacking (2001, p. 165) e Huber (\citeyear{huber2009}, p. 5-6).}. Um conjunto de graus de cren\c ca $ D $ de um agente $ S $ deve corresponder a um conjunto de quocientes de aposta $ Bq $ de $ S $. Se $ Bq $ de $ S $ viola o \emph{calculus} de probabilidade, tornando $ Bq $ incoerente probabilisticamente, ent\~ao h\'a um \emph{Dutch Book} envolvendo tais quocientes contra $ S $. Por seu turno, se h\'a um \emph{Dutch Book} contra $ Bq $ de $ S $, ent\~ao $ Bq $ de $ S $ est\'a vulner\'avel a um contrato que resulta em perda garantida. Se $ Bq $ de $ S $ est\'a vulner\'avel a um contrato que resulta em perda garantida, ent\~ao $ S $ \'e irracional. Portanto, supondo a correspond\^encia entre $ Bq $ e $ D $, conclui-se por silogismo hipot\'etico que se o conjunto de graus de cren\c ca $ D $ de $ S $ viola o \emph{calculus} de probabilidade, tornando $ D $ incoerente probabilisticamente, ent\~ao $ S $ \'e irracional. \newline
\hspace*{1.25cm} Esse argumento, na sua vers\~ao {\it default}\footnote{H\'a uma literatura ampla sobre o assunto (para citar alguns, Gillies, 2000, cap. 4, p. 58-64; Jeffrey, \citeyear{jeffrey1983logic}, cap. 4, p. 60-62). Tamb\'em existem v\'arios outros tipos de argumentos do {\it Dutch Book}. Vineberg (2011) discute em detalhes vers\~oes alternativas do {\it Dutch Book}: vers\~oes diacr\^onicas (com intuito de justificar princ\'ipios de condicionaliza\c c\~ao), vers\~ao para aditividade cont\'avel, entre outras.}, determina se um agente \'e ou n\~ao coerente, no que diz respeito aos seus graus de cren\c ca, em uma determinada inst\^ancia particular de tempo. Como sugerem H\'ajek e Hartmann (2010, p. 95), trata-se de uma dimens\~ao {\it sincr\^onica} de racionalidade e coer\^encia probabil\'istica. A prop\'osito, os axiomas e regras explicados na se\c c\~ao $ 2 $ tamb\'em referem-se a uma dimens\~ao {\it sincr\^onica}: grau $ \varepsilon $ de cren\c ca, modelado sob o {\it calculus} probabil\'istico, de um agente $ S $ em uma inst\^ancia de tempo $ t $; e n\~ao como tal grau se atualiza atrav\'es do tempo. No exemplo acima, $ S $ tem graus de cren\c ca de $ Pr(r) = .6 \ (\frac{3}{5})$ e $ Pr(\lnot r) = .6 \ (\frac{3}{5})$ em $ t $. $ S $ \'e incoerente em $ t $, pois a probabilidade de $ r \lor \lnot r $ n\~ao pode superar o grau m\'aximo de $ 1 $, de acordo com o primeiro axioma de probabilidade. Em sentido rigoroso, nos termos dos quocientes de $ S $ e do cen\'ario constru\'ido, $ S $ tem um grau de $ 1.2 $ na probabilidade de $ r \lor \lnot r $, uma vez que $ r $ e $ \lnot r $ s\~ao mutuamente exclusivas e, pelo axioma de aditividade finita, $ Pr(r \lor \lnot r) = Pr(r) + Pr(\lnot r) = .6 + .6 = 1.2 $. Entretanto, al\'em do fato do grau de $ 1.2 $ superar o valor \emph{maximum} do intervalo $ [0,1] $, o que significa infringir o primeiro axioma, $ S $ viola o axioma sobre o valor atribu\'ido a tautologias\footnote{As viola\c c\~oes exploradas s\~ao, por assim dizer, duas viola\c c\~oes do {\it calculus} probabil\'istico b\'asico, ou seja, dos dois primeiros axiomas de Kolmogorov. Cen\'arios de viola\c c\~ao do axioma de aditividade finita s\~ao mais engenhosos. Como tomaria muito espa\c co constru\'i-los aqui, sugere-se ver Bradley (2015, cap. 3, p. 31-32), Hacking (2001, cap. 14, p. 166-167) e Vineberg (2011, sec. 1.1).}. Como $ r \lor \lnot r $ \'e uma tautologia ou verdade l\'ogica, $ S $ teria que lhe conferir o valor preciso de $ 1 $.\newline
\hspace*{1.25cm} Uma segunda restri\c c\~ao sobre graus de cren\c ca remete a um princ\'ipio formulado por David Lewis (\citeyear{lewis1980}, p. 266-267), o qual \'e conhecido como {\it princ\'ipio principal}. Tal princ\'ipio estabelece que se $ S $ tem boas evid\^encias, e nenhuma evid\^encia contr\'aria, sobre a probabilidade f\'isica de um evento, veiculada por uma proposi\c c\~ao $ p $, com valor espec\'ifico de $ \varepsilon $, ent\~ao o grau de cren\c ca de $ S $ de que $ p $ precisa se ajustar ao valor de $ \varepsilon $. Assim, o princ\'ipio principal determina que graus de cren\c ca, {\it credences}, precisam corresponder a probabilidades f\'isicas, quando estas est\~ao dispon\'iveis como evid\^encia ao agente, num certo valor $ \varepsilon $ que indica a probabilidade de sua ocorr\^encia no mundo. Formalmente, o princ\'ipio principal apresenta-se nos seguintes termos: $ Cr(p \mid Ch(p) = \varepsilon) = \varepsilon $, onde $ Cr( \ \cdot \ ) $ \'e um fun\c c\~ao de probabilidade subjetiva ({\it credence}) e $ Ch( \ \cdot \ ) $ \'e uma fun\c c\~ao de probabilidade f\'isica ({\it chance}).\newline
\hspace*{1.25cm} Considere que $ S $ tem boas evid\^encias, supondo a aus\^encia de qualquer evid\^encia contr\'aria, de que a frequ\^encia relativa em uma longa sequ\^encia de $ n $ jogadas finitas, relativas a um determinado mecanismo de jogadas, \'e distribu\'ida igualmente entre as duas possibilidades de resultado, isto \'e, $ \Omega = \{cara, coroa\} $. Por conseguinte, se $ p_{1} $ enuncia a possibilidade de resultado de sair $ cara $ e $ p_{2} $ enuncia a do resultado de sair $ coroa $, temos $ Ch(p_{1}) = .5 $ e $ Ch(p_{2}) = .5 $. Os graus de cren\c ca de $ S $, portanto, devem concordar com as probabilidades f\'isicas, que est\~ao dispon\'iveis como evid\^encia a $ S $. Temos, neste caso, $ Cr(p_{1} \mid Ch(p_{1}) = .5) = .5 $ e $ Cr(p_{2} \mid Ch(p_{2}) = .5) = .5 $.

\section{Restri\c c\~oes Diacr\^onicas e Teorema de Bayes}{% Espacamento de 1.5}
\hspace{1.25cm} Ao passo que o contrato de perda garantida, ou \emph{Dutch Book}, e o princ\'ipio principal s\~ao condi\c c\~oes \emph{sincr\^onicas} de racionalidade probabil\'istica, elementos fulcrais do probabilismo, regras de atualiza\c c\~ao ou revis\~ao dos graus de cren\c ca, propostas pelo Bayesianismo, s\~ao condi\c c\~oes \emph{diacr\^onicas} de racionalidade probabil\'istica, como bem assinalam H\'ajek e Hartmann (2010, p. 95) e Huber (2009, p. 7). Tais modelos ou regras de revis\~ao estabelecem, fundamentalmente, processos pelos quais um agente dox\'astico $ S $ atualiza o seu grau $ \chi $ de cren\c ca em uma certa proposi\c c\~ao $ h $ de uma inst\^ancia de tempo $ t $ para uma inst\^ancia de tempo $ t' $ quando alguma nova evid\^encia ou informa\c c\~ao \'e obtida por $ S $. \newline
\hspace*{1.25cm} Condicionaliza\c c\~ao estrita ou simples, doravante \emph{regra de condicionaliza\c c\~ao} $ \S1 $, \'e um princ\'ipio de revis\~ao que trata da rela\c c\~ao dos graus de cren\c ca em conjunto atrav\'es do tempo, especificamente quando um agente $ S $ torna-se certo, com grau m\'aximo $ 1 $, de uma determinada proposi\c c\~ao evidencial $ e $, sendo que uma proposi\c c\~ao $ h $ est\'a condicionada em $ e $, isto \'e, $ Pr_{t}(h \mid e) $. Assim, $ S $ deve atualizar o seu grau de cren\c ca posterior em $ h $, a saber, $ Pr_{t'}(h) $. Numa formula\c c\~ao mais precisa, a \emph{regra de condicionaliza\c c\~ao} $ \S1 $ pode ser apresentada da seguinte maneira: para quaisquer proposi\c c\~oes $ h $ e $ e $, se um agente $ S $ com graus de cren\c ca iniciais $ 1 > Pr_{t}(e) > 0 $, $ Pr_{t}(h \mid e) = \chi $ e  $ 1 > Pr_{t}(h) > 0 $ recebe evid\^encia de tal modo que torna-se certo de $ e $, ent\~ao $ S $ deve igualar seu grau de cren\c ca inicial em $ h $ condicional em $ e $, $ Pr_{t}(h \mid e) $, ao seu grau de cren\c ca posterior em $ h $, a saber, $ Pr_{t}(h \mid e) = \chi = Pr_{t'}(h) $.\newline
\hspace*{1.25cm} Nem sempre, no entanto, obtemos informa\c c\~oes ou evid\^encias que tornam nossos graus de cren\c ca t\~ao certos, isto \'e, n\~ao necessariamente nos tornamos certos de $ e $, $ Pr_{t'}(e) $, em diversas situa\c c\~oes. Por isso, Richard Jef\mbox{f}rey (1983, p. 172) prop\^os um princ\'ipio de condicionaliza\c c\~ao para revis\~ao dos graus de cren\c ca com valores inferiores \`a certeza, ou seja, $ Pr_{t'}(e) $ com valor n\~ao-maximal. Pode-se, desse modo, formular a \emph{regra de condicionaliza\c c\~ao} $ \S2 $: para quaisquer proposi\c c\~oes $ h $ e $ e $, se um agente $ S $ com graus de cren\c ca iniciais $ 1 > Pr_{t}(e) > 0 $ e $ 1 > Pr_{t}(h) > 0 $ recebe evid\^encia de tal modo que altera o seu grau inicial em $ e $ para o valor $ \chi $, $ Pr_{t'}(e) = \chi $, ent\~ao $ S $ deve revisar o seu grau de cren\c ca inicial em $ h $, $ Pr_{t}(h) $, para um grau posterior tal que $ Pr_{t'}(h) = [\chi \times Pr_{t}(h \mid e)] + [(1 - \chi) \times Pr_{t}(h \mid \lnot e)] $.\newline
\hspace*{1.25cm} A equa\c c\~ao contida no consequente da \emph{condicionaliza\c c\~ao} $ \S2 $ converte-se na f\'ormula $ Pr_{t'}(h) = [Pr_{t'}(e) \times Pr_{t}(h \mid e)] + [Pr_{t'}(\lnot e) \times Pr_{t}(h \mid \lnot e)] $. Ademais, a \emph{regra de condicionaliza\c c\~ao} $ \S2 $ \'e redut\'ivel, plausivelmente, na \emph{regra de condicionaliza\c c\~ao} $ \S1 $ sob uma determinada condi\c c\~ao. Assim, considerando que $ \chi = 1 $, $ Pr_{t'}(e) = 1 $, temos $ Pr_{t'}(h) = [1 \times Pr_{t}(h \mid e)] + [0 \times Pr_{t}(h \mid \lnot e)] $ e, portanto, $ Pr_{t'}(h) = Pr_{t}(h \mid e) $.\newline
\hspace*{1.25cm} Embora os princ\'ipios de \emph{condicionaliza\c c\~ao} $ \S1 $ e $ \S2 $ sejam pe\c cas essenciais, ainda nos falta introduzir um teorema central demonstrado pelo matem\'atico e cl\'erigo Thomas Bayes\footnote{A demonstra\c c\~ao de tal teorema foi publicada apenas postumamente por Richard Price, amigo de Thomas Bayes, no ano de 1763. O artigo original de Bayes (\citeyear{bayes2002} [1763], p. 117-149), \emph{An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances}, est\'a dispon\'ivel em um volume editado por Richard Swinburne, juntamente com outros textos de acesso ao Bayesianismo. Uma \'otima avalia\c c\~ao da obra de Bayes est\'a dispon\'ivel em Earman (1992, cap. 1, p. 7-31).} (c. 1701-1761). A despeito de algumas diferen\c cas entre o teorema original e a sua formula\c c\~ao mais contempor\^anea, ele \'e tomado aqui como uma ferramenta para modelar graus subjetivos de cren\c ca de agentes racionais. \newline
\hspace*{1.25cm} Dada uma parti\c c\~ao\footnote{Conjunto de proposi\c c\~oes mutuamente exclusivas, apenas uma pode ser verdadeira, e reunidamente exaustivas, ao menos uma \'e verdadeira.} de duas hip\'oteses $ h $ e $ \lnot h $ competidoras e desde que $ Pr(e) > 0 $, enuncia-se que \begin{displaymath}
\langle Bayes \ \S1 \rangle \ Pr(h \mid e) = \frac{Pr(h) \times Pr(e \mid h)}{[Pr(h) \times Pr(e \mid h)] + [Pr(\lnot h) \times Pr(e \mid \lnot h)]}
\end{displaymath}
sendo $ Pr(h) $ e $ Pr(\lnot h) $ as probabilidades anteriores, os \emph{priors}, que representam os graus inicias de cren\c ca de um agente em $ h $ e $ \lnot h $, $ Pr(e \mid h) $ o \emph{likelihood}, o qual representa o grau de cren\c ca em $ e $ condicionado em $ h $, e, finalmente, $ Pr(h \mid e) $ a probabilidade posterior como o grau de cren\c ca do agente em $ h $ condicionado em $ e $ ap\'os realizar probabilisticamente o racioc\'inio.\newline
\hspace*{1.25cm} O teorema $ Bayes \ \S1 $ pode ser generalizado para uma parti\c c\~ao finita de hip\'oteses competidoras $ \{ h_{1}, h_{2}, \dots, h_{n} \} $, dado que $ i = 1 $, $ i = 2 $, $ \dots $, $ i = n $. Assim, para toda $ h_{i} $ na parti\c c\~ao, admitindo que $ Pr(e) > 0 $ e $ Pr(h_{i}) > 0 $, segue-se que \begin{displaymath}
\langle Bayes \ \S2 \rangle \ Pr(h_{i} \mid e) = \frac{Pr(h_{i}) \times Pr(e \mid h_{i})}{\sum_{j} [Pr(h_{j}) \times Pr(e \mid h_{j})]}
\end{displaymath}
sendo o denominador composto pela soma dos produtos das probabilidades anteriores com os \emph{likelihoods} de cada hip\'otese da parti\c c\~ao.\newline
\hspace*{1.25cm} Vamos propor um exemplo\footnote{Exemplo similar ao \emph{Harvard Medical School Test}, dispon\'ivel em Howson e Urbach (2006, cap. 2, p. 22-26).} de atualiza\c c\~ao que combina \emph{condicionaliza\c c\~ao} $ \S1 $ e \emph{Bayes} $ \S1 $. Supondo que um agente $ S $ tem algumas informa\c c\~oes iniciais sobre uma determinada doen\c ca que acomete a popula\c c\~ao em geral: $ 1 $ a cada $ 2.000 $ indiv\'iduos, isto \'e, $ Pr_{t}(h) = 0.0005 $. $ S $ tem outras informa\c c\~oes que dizem respeito \`a confiabilidade do exame que atesta positivo ou negativo sobre a doen\c ca em quest\~ao. Dado que algu\'em tem a doen\c ca, a probabilidade de resultado negativo no teste \'e zero, $ Pr_{t}(\lnot e \mid h) = 0 $, e dado que algu\'em n\~ao tem a doen\c ca, a probabilidade de resultado positivo no teste \'e de $ 0.15 $, ou seja, $ Pr_{t}(e \mid \lnot h) = 0.15 $. $ S $ realiza o teste, recebe o resultado de positivo e torna-se certo de $ e $, ou seja, $ Pr_{t'}(e) = 1 $. Ademais, se $ Pr_{t}(h) = 0.0005 $, ent\~ao $ Pr_{t}(\lnot h) = 0.9995 $; se $ Pr_{t}(\lnot e \mid h) = 0 $, ent\~ao $ Pr_{t}(e \mid h) = 1 $, pois $ Pr_{t}(\lnot e \mid h) = 1 - Pr_{t}(e \mid h) $. $ S $ deve computar as informa\c c\~oes, dado que o teste \'e positivo, e atualizar o seu grau anterior a um novo grau posterior. Combinando \emph{condicionaliza\c c\~ao} $ \S1 $ e \emph{Bayes} $ \S1 $, segue-se que \begin{displaymath}
Pr_{t'}(h) = Pr_{t}(h \mid e) = \frac{Pr_{t}(h) \times Pr_{t}(e \mid h)}{[Pr_{t}(h) \times Pr_{t}(e \mid h)] + [Pr_{t}(\lnot h) \times Pr_{t}(e \mid \lnot h)]}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
Pr_{t'}(h) = Pr_{t}(h \mid e) = \frac{0.0005 \times 1}{[0.0005 \times 1] + [0.9995 \times 0.15]} \approx 0.0033
\end{displaymath}
o que confere uma baixa probabilidade de $ S $ ter a doen\c ca. Em outros termos, se $ S $ atualiza de modo correto os seus graus, sendo sens\'ivel \`a obten\c c\~ao de nova evid\^encia e como prescrevem as regras de \emph{condicionaliza\c c\~ao} $ \S1 $ e \emph{Bayes} $ \S1 $, ent\~ao $ S $ tem um grau posterior muito baixo sobre a hip\'otese de estar com a doen\c ca em apre\c co. Neste caso, como o agente realiza corretamente a atualiza\c c\~ao, pode-se afirmar que ele \'e irrepreens\'ivel do ponto de vista diacr\^onico-probabil\'istico.

\section{Confirma\c c\~ao}
\hspace*{1.25cm} A teoria Bayesiana de confirma\c c\~ao defende que a rela\c c\~ao de suporte entre uma proposi\c c\~ao evidencial, ou conjunto de evid\^encias, e uma hip\'otese \'e medida probabilisticamente, ou seja, \emph{graus de confirma\c c\~ao interpretados como probabilidades}. Nesse sentido, o teorema de Bayes e o maquin\'ario de probabilidades fornecem uma metodologia a partir da qual rela\c c\~oes de confirma\c c\~ao, desconfirma\c c\~ao e neutralidade evidencial s\~ao estabelecidas. Se uma proposi\c c\~ao evidencial $ e $ oferece suporte, embora n\~ao conclusivo, a favor de uma certa hip\'otese $ h $, ent\~ao $ e $ confirma $ h $; se $ e $ objeta $ h $, ent\~ao $ e $ desconfirma $ h $; se $ e $ n\~ao suporta nem objeta $ h $, ent\~ao $ e $ \'e neutra ou evidencialmente irrelevante sobre $ h $. \newline
\hspace*{1.25cm} Antes de falarmos sobre os conceitos de confirma\c c\~ao e as medidas de diferen\c ca, algumas observa\c c\~oes precisam ser consideradas. Primeira, embora nem sempre explicitamente declarado, h\'a um princ\'ipio que equaliza \emph{graus racionais de cren\c ca}, representados por probabilidades subjetivas restringidas pelas condi\c c\~oes previamente estabelecidas, com \emph{graus de confirma\c c\~ao}, representados por probabilidades epist\^emicas. Conforme o princ\'ipio \emph{de evid\^encia a graus de cren\c ca}\footnote{Realizamos uma distin\c c\~ao entre probabilidades epist\^emicas e \emph{credences} na se\c c\~ao $ 3 $. Nem sempre Bayesianos usam tal tipologia, assumindo apenas que confirma\c c\~ao diz respeito a graus subjetivos de cren\c ca que satisfazem os axiomas e regras da fun\c c\~ao probabil\'istica. De todo modo, dado o nosso percurso, parece apropriado explicitar um princ\'ipio que proponha uma teoria unificacionista entre graus racionais de cren\c ca e graus de confirma\c c\~ao.}, assinalado por D. H. Mellor (2005, p. 80), quanto mais forte $ e $ suporta $ h $, maior o grau de cren\c ca que um agente deve ter em $ h $ condicionado em $ e $. Nessa perspectiva, Bayesianos tipicamente alegam que as rela\c c\~oes de suporte evidencial s\~ao relativas ao agente e \`a sua situa\c c\~ao dox\'astica: a concep\c c\~ao de que n\~ao h\'a um modo puramente objetivo de suporte evidencial. Segunda, ao analisar a rela\c c\~ao de confirma\c c\~ao (ou de desconfirma\c c\~ao ou, ainda, de neutralidade) que $ e $ fornece a $ h $, considera-se toda evid\^encia dispon\'ivel ao agente. N\~ao somente a pe\c ca de evid\^encia $ e $, mas todo o \emph{conhecimento de fundo} (\emph{background knowledge}) relativo ao agente \'e considerado, este \'ultimo representado pela vari\'avel $ k $. Assim, se novas pe\c cas de evid\^encia $ e_{1}, \ e_{2}, \ \dots \ , e_{n} $ s\~ao obtidas por $ S $, ent\~ao elas devem ser integradas ao conjunto de estoque de conhecimento $ k $, ou ao conjunto total de informa\c c\~oes de fundo, de $ S $. Os graus anteriores de cren\c ca, os \emph{priors}, precisam estar condicionados pelo menos em tal estoque de conhecimento ou informa\c c\~oes de fundo armazenadas.\newline
\hspace*{1.25cm} Dois conceitos elementares de confirma\c c\~ao podem ser distinguidos: absoluto e incremental. Confirma\c c\~ao absoluta estipula um limiar de valor espec\'ifico de refer\^encia: uma certa evid\^encia suporta fortemente uma determinada hip\'otese se o limiar de valor $ \chi $ \'e superado, desde que $ \chi > 0 $. Em sentido rigoroso, a defini\c c\~ao de confirma\c c\~ao absoluta \'e formulada nos seguintes termos: $ e $ confirma absolutamente $ h $ \emph{sse} $ Pr(h \mid e \land k) > \chi $. Se $ \chi = \frac{1}{2} $ e $ Pr(h \mid e \land k) > \frac{1}{2} $, ent\~ao $ Pr(\lnot h \mid e \land k) < \frac{1}{2} $. O problema, no entanto, concentra-se na justifica\c c\~ao de um determinado valor num\'erico, e. g. $ \frac{1}{2} $, como o limiar de valor apropriado para suporte evidencial absoluto, impedindo que tal limiar de valor seja arbitrariamente fixado. Por isso, Bayesianos t\^em procurado evitar o conceito de confirma\c c\~ao absoluta em prol do conceito de confirma\c c\~ao incremental.\newline
\hspace*{1.25cm} Confirma\c c\~ao incremental, desconfirma\c c\~ao e neutralidade ou irrelev\^ancia evidencial s\~ao definidas na devida ordem (Howson e Urbach, 2006, p. 92; Earman, 1992, p. 94): 
\begin{center}
$ e $ confirma $ h $ \emph{sse} $ Pr(h \mid e \land k) > Pr(h \mid k) $\\
$ e $ desconfirma $ h $ \emph{sse} $ Pr(h \mid e \land k) < Pr(h \mid k) $\\ 
$ e $ \'e evidencialmente irrelevante para $ h $ \emph{sse} $ Pr(h \mid e \land k) = Pr(h \mid k) $
\end{center}
\hspace*{1.25cm} Se $ e $ incrementalmente confirma $ h $, considerando $ k $, ent\~ao $ h $ \'e menos prov\'avel na aus\^encia da evid\^encia $ e $, ou seja, $ e $ aumenta a probabilidade de $ h $. De acordo com a avalia\c c\~ao de Joyce (2004, p. 143), o impacto que uma nova evid\^encia $ e $ causa sobre uma hip\'otese $ h $, ao ser adicionada ao estoque de conhecimento $ k $ de um agente $ S $, revela uma discrep\^ancia entre o grau de $ S $ em $ h $ condicionado apenas em $ k $, $ Pr(h \mid k) $, e o seu grau em $ h $ condicionado em $ e \land k $, $ Pr(h \mid e \land k) $, quando $ e $ incrementalmente confirma $ h $.\newline
\hspace*{1.25cm} Por \'ultimo, a teoria Bayesiana de confirma\c c\~ao tamb\'em \'e bastante frut\'ifera em rela\c c\~ao \`as medidas de confirma\c c\~ao. Existe, entretanto, uma variedade de medidas de confirma\c c\~ao na literatura sobre Bayesianismo\footnote{V\'arias delas dispon\'iveis em Huber (\citeyear{huber2010conf}, sec. 6) e Fitelson (\citeyear{fitelson1999plurality}, sec. 1). Por exemplo, a medida de raz\~ao dos \emph{likelihoods}, $ \frac{Pr(e \mid h \land k)}{Pr(e \mid \lnot h \land k)} $, e a medida dos \emph{likelihoods} normalizada, raz\~ao logar\'itimica dos \emph{likelihoods}, $ \log [\frac{Pr(e \mid h \land k)}{Pr(e \mid \lnot h \land k)}] $.}. N\~ao se pretende discuti-las todas aqui. Para o prop\'osito atual, duas delas ser\~ao de relev\^ancia significante no tocante ao problema da evid\^encia antiga (objeto da pr\'oxima se\c c\~ao) \emph{as medidas de diferen\c ca} $ d $ (Earman, 1992, p. 119) e $ s $ (Christensen, \citeyear{christensen1999measuring}, p. 450 e Joyce, 2004, p. 144):
\begin{center}
$ d(h, e, k) = Pr(h \mid e \land k) - Pr(h \mid k)$ \\
$ s(h, e, k) = Pr(h \mid e \land k) - Pr(h \mid \lnot e \land k)$
\end{center}
\hspace{1.25cm} Se $ Pr(h \mid e \land k) > Pr(h \mid k) $, ent\~ao $ d(h, e, k) > 0 $; se $ Pr(h \mid e \land k) < Pr(h \mid k) $, ent\~ao $ d(h, e, k) < 0 $ e se $ Pr(h \mid e \land k) = Pr(h \mid k) $, ent\~ao $ d(h, e, k) = 0 $. Se $ Pr(h \mid e \land k) > Pr(h \mid \lnot e \land k) $, ent\~ao $ s(h, e, k) > 0 $; se $ Pr(h \mid e \land k) < Pr(h \mid \lnot e \land k) $, ent\~ao $ s(h, e, k) < 0 $ e se $ Pr(h \mid e \land k) = Pr(h \mid \lnot e \land k) $, ent\~ao $ s(h, e, k) = 0 $. Em suma, confirma\c c\~ao se $ > 0 $, desconfirma\c c\~ao se $ < 0 $ e neutralidade ou irrelev\^ancia evidencial se $ = 0 $.\newline
\hspace*{1.25cm} As \emph{medidas de diferen\c ca} $ d $ e $ s $ captam fatores distintos de impacto da evid\^encia $ e $ sobre a hip\'otese $ h $: a primeira avalia a for\c ca que $ e $ desempenha sobre $ h $ em compara\c c\~ao com a for\c ca de $ h $ sem $ e $ ($ h $ condicionado somente em $ k $); a segunda avalia a for\c ca que $ e $ desempenha sobre $ h $ ($ h $ condicionado em $ e \land k $) em compara\c c\~ao com a for\c ca que $ \lnot e $ exerce sobre $ h $ ($ h $ condicionado em $ \lnot e \land k $). Como veremos, embora a primeira seja uma medida bastante can\^onica, ela parece ser problem\'atica e ineficiente na resolu\c c\~ao do problema da evid\^encia antiga.

\section{Problemas e Obje\c c\~oes}
\hspace{1.25cm} Alguns dos principais problemas e obje\c c\~oes ser\~ao tratados nesta se\c c\~ao. Em especial, o problema dos \emph{priors} e o problema da evid\^encia antiga imp\~oem s\'erios desafios \`a proposta do probabilismo e Bayesianismo em epistemologia.  \newline
\hspace*{1.25cm} Primeiro, uma obje\c c\~ao diz que agentes ordin\'arios nem sempre s\~ao capazes de satisfazer o modelo de racionalidade proposto pelo probabilismo e Bayesianismo. Na verdade, h\'a uma suposi\c c\~ao conhecida como \emph{suposi\c c\~ao da onisci\^encia l\'ogica} (Garber, \citeyear{garber1983old}) que, advertidamente, parece exigir um padr\~ao muito alto, inating\'ivel, a agentes ordin\'arios. Agentes precisariam satisfazer as regras e o axiomas do maquin\'ario de probabilidades, sendo coerentes probabilisticamente, e todas consequ\^encias l\'ogicas que se seguem de tal maquin\'ario: \emph{e.g.} deve-se atribuir valor maximal $ 1 $ a tautologias e valor minimal $ 0 $ a inconsist\^encias e contradi\c c\~oes l\'ogicas; se $ p $ acarreta $ q $, a probabilidade de $ q $ n\~ao pode ser menor do que a de $ p $; entre outras. A alega\c c\~ao \'e de que s\~ao exig\^encias muito altas para que agentes as satisfa\c cam em todas circunst\^ancias ordin\'arias de suas pr\'aticas epist\^emicas. Presumivelmente, uma resposta poss\'ivel endere\c cada a tal obje\c c\~ao sustenta que os padr\~oes exigidos pelo modelo formal do probabilismo e Bayesianismo devem ser tomados como \emph{ideais}. S\~ao, rigorosamente, padr\~oes para \emph{agentes idealmente racionais}. \newline
\hspace*{1.25cm} Segundo, duas obje\c c\~oes podem ser levantadas contra o argumento do \emph{Dutch Book}. Para Pollock e Cruz (\citeyear{pollock1999contemporary}, p. 95), o \emph{Dutch Book} n\~ao diz respeito \`a racionalidade epist\^emica. Em \'ultima inst\^ancia, o que estaria em jogo no caso de um agente n\~ao violar o aparato formal de probabilidade concerne \`a racionalidade pr\'atica, a saber, o agente \'e racional do ponto de vista \emph{pr\'atico} se n\~ao aceita apostas que o conduzem \`a perda garantida. Ele n\~ao empreende uma a\c c\~ao que o coloca numa situa\c c\~ao praticamente indesej\'avel. Isso, no entanto, n\~ao o faz necessariamente racional do ponto de vista \emph{epist\^emico}\footnote{Uma tentativa de \emph{despragmatiza\c c\~ao} do argumento do \emph{Dutch Book} \'e encontrada em Christensen (\citeyear{christensen2004}, p. 116-124).}. Nessa perspectiva, o \emph{Dutch Book} no m\'aximo revelaria incoer\^encia probabil\'istica nos quocientes de aposta do agente. Uma outra cr\'itica decisiva ao \emph{Dutch Book} \'e surpreendentemente formulada por H\'ajek (2009, p. 232). H\'a um argumento conhecido como \emph{Czech Book} que oferece boas raz\~oes contra o probabilismo. Se os graus de cren\c ca, representados por quocientes de apostas, de um agente $ S $ n\~ao satisfazem os axiomas e regras de probabilidade, ent\~ao existe um conjunto de apostas que assegura ganho a $ S $. Se, por outro lado, os graus de cren\c ca de $ S $ satisfazem os axiomas e regras de probabilidade, ent\~ao n\~ao existe um conjunto de apostas que assegura ganho a $ S $. Assim, parece ser um \emph{desideratum} para o agente n\~ao satisfazer o maquin\'ario de probabilidades: ser coerente probabilisticamente n\~ao oferece ganho a $ S $. Tal argumento \'e genuinamente um \emph{plot twist}, H\'ajek (2009, p. 231) o denomina de \emph{diabolical twist}, nas pretens\~oes de um defensor do probabilismo.  \newline
\hspace*{1.25cm} Terceiro, o problema dos \emph{priors}. Pode haver desacordo se graus anteriores de cren\c ca, representados formalmente pelos \emph{priors}, s\~ao ou n\~ao determinados por condi\c c\~oes restritivas adicionais. Vamos supor que n\~ao temos nenhuma evid\^encia relevante sobre um determinado mecanismo de jogadas de moeda, somos ignorante se ele \'e justo ou viciado num determinado resultado, com exce\c c\~ao que sabemos dos resultados poss\'iveis de ou cara ou coroa, o que configura o \emph{espa\c co amostral ou de possibilidades} constitu\'ido num conjunto tal que $ \Omega = \{cara, coroa\} $. Devemos distribuir de maneira equ\^anime os valores de probabilidade entre os dois resultados poss\'iveis? Por um lado, o Bayesianismo objetivo\footnote{Jon Williamson defende uma forma robusta de Bayesianismo objetivo em \emph{In Defence of Objective Bayesianism} (\citeyear{williamson2010defence}).} pode invocar o princ\'ipio de indiferen\c ca\footnote{O princ\'ipio de indiferen\c ca diz que se um agente $ S $ tem unicamente a evid\^encia de que um \emph{espa\c co de amostra} $ \Omega $ tem $ n $ possibilidades mutuamente exclusivas e conjuntamente exaustivas, $ \Omega = \{h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{n} \}$, ent\~ao \'e racional para $ S $ atribuir grau de $ \frac{1}{n} $ a cada uma de tais possibilidades de $ \Omega $. Mais informa\c c\~oes sobre o princ\'ipio de indiferen\c ca em Howson (\citeyear{howson2009}, sec. 1).} de tal modo que devemos, al\'em de satisfazer as outras restri\c c\~oes e regras da fun\c c\~ao probabil\'istica, atribuir o valor de $ \frac{1}{n} $ a cada resultado de um total de $ n $ possibilidades. Assim, o princ\'ipio de indiferen\c ca funcionaria como um crit\'erio \emph{a priori} de atribui\c c\~ao de valores em rela\c c\~ao aos \emph{priors} e, alegadamente, ser\'iamos racionais ao aplicar $ \frac{1}{2} $ a cada um dos resultados do nosso exemplo. Por outro lado, o Bayesianismo subjetivo\footnote{Uma vers\~ao de Bayesianismo subjetivo \'e oferecida por Richard Jef\mbox{f}rey em \emph{Subjective Probability: The Real Thing} (\citeyear{jeffrey2004subjective}).}, talvez numa forma mais radical, alega que simplesmente n\~ao temos restri\c c\~oes adicionais sobre os graus anteriores de cren\c ca. Devemos ser coerentes probabilisticamente, mas n\~ao h\'a nada que nos autorize a distribuir graus equ\^animes entre cada um dos resultados. Assim, n\~ao h\'a uma atribui\c c\~ao correta de um valor espec\'ifico entre $ [0,1] $ em tal cen\'ario. A despeito da pr\'opria dificuldade de justificar algum princ\'ipio sobre os \emph{priors}, como \'e o caso do princ\'ipio de indiferen\c ca, a quest\~ao exposta aqui pode separar Bayesianos subjetivos dos Bayesianos objetivos. Mas, como lembra W. Talbott (\citeyear{talbott2008}), em um cen\'ario com nenhuma evid\^encia sequer dispon\'ivel ao agente, nem mesmo algum dado sobre o \emph{espa\c co de possibilidades}, pode ser o caso que Bayesianos concordem sobre os \emph{priors}. Apesar de acordo \emph{minimum}, se n\~ao h\'a evid\^encia ou informa\c c\~ao dispon\'ivel, ent\~ao n\~ao h\'a base nenhuma sobre a qual graus anteriores de cren\c ca de um agente podem se apoiar. \newline
\hspace*{1.25cm} Quarto, o problema da evid\^encia antiga, talvez o desafio mais contundente ao Bayesianismo (Glymour, \citeyear{glymour1980theory}, p. 85-93; Earman, 1992, p. 119-135). Suponha num dado tempo $ t $ que uma evid\^encia antiga $ e $ suporta uma hip\'otese $ h $. Suponha que em $ t' $ descobre-se uma rela\c c\~ao l\'ogica entre ambas, a saber, $ h $ acarreta $ e $. Assumindo, al\'em disso, que $ Pr(e) = 1 $ em $ t' $. Se $ h $ acarreta $ e $, que \'e o caso em $ t' $, ent\~ao $ h \equiv (h \land e) $. Se $ h \equiv (h \land e) $, ent\~ao $ Pr(h) = Pr(h \land e) $ (\textbf{Teorema \S1} dispon\'ivel no Ap\^endice). Assim, pela defini\c c\~ao de probabilidade condicional, $ Pr(e \mid h) = \frac{Pr(h \ \land \ e)}{Pr(h)} $. Por substitui\c c\~ao, $ Pr(e \mid h) = \frac{Pr(h)}{Pr(h)} $. Portanto, $ Pr(e \mid h) = 1 $, considerando que $ Pr(h) \neq 0 $. Usando uma varia\c c\~ao de $ \langle Bayes \ \S1 \rangle $, $ Pr(h \mid e) = \frac{Pr(e \ \mid \ h) \ \times \ Pr(h)}{Pr(e)} $ (dispon\'ivel no \textbf{Teorema \S5}), dado que $ Pr(e \mid h) = 1 $ e  $ Pr(e) = 1 $ em $ t' $, conclui-se que $ Pr(h \mid e) = Pr(h) $ em $ t' $. Se usamos a medida de diferen\c ca $ d(h, e) = Pr(h \mid e) - Pr(h )$, suprimindo a vari\'avel $ k $ no condicional, temos $ d(h, e) = 0 $. Portanto, a evid\^encia antiga $ e $ n\~ao desempenha nenhum papel de suporte de confirma\c c\~ao incremental sobre $ h $ em $ t' $. Em outros termos, a medida de diferen\c ca $ d $ mostra que $ e $ \'e evidencialmente irrelevante para $ h $ em $ t' $. Suprimida a vari\'avel $ k $, a medida de confirma\c c\~ao $ s(h, e) = Pr(h \mid e) - Pr(h \mid \lnot e) $, proposta por Christensen\footnote{Christensen prop\~oe uma vers\~ao alternativa do problema da evid\^encia antiga em que $ Pr(e) \approx 1 $. A quest\~ao, no entanto, \'e que o problema parece se perder se assumimos que $ Pr(e) \neq 1 $, como demonstra Earman (1992, p. 121). Em \'ultima inst\^ancia, Christensen (1999, p. 459) mostra-se bastante c\'etico sobre $ s $ ser uma medida de confirma\c c\~ao probabil\'istica apropriada. A prop\'osito, Eells (\citeyear{eells1990bayesian}, p. 207) apresenta uma sistematiza\c c\~ao bastante \'util sobre vers\~oes diferentes do problema da evid\^encia antiga. Aqui apenas oferecemos o que parece ser a vers\~ao \emph{default} do problema.} (1999) e Joyce (2004), pode ser obtida da medida $ d $. Divide-se a medida $ d $, como Christensen (1999, p. 450) demonstra em uma nota de rodap\'e, por $ Pr(\lnot e) $. Desse modo, $ \frac{Pr(h \mid e) - Pr(h)}{Pr(\lnot e)} $ ($ l $). Dado que $ h \equiv [(h \land e) \lor (h \land \lnot e)] $, $ Pr(h) = Pr[(h \land e) \lor (h \land \lnot e)] $ (pelo \textbf{Teorema \S1}). $ Pr[(h \land e) \lor (h \land \lnot e)] = Pr(h \land e) + Pr(h \land \lnot e) $ porque $ h \land \lnot e $ e $ h \land e $ s\~ao mutuamente exclusivas (pelo axioma de aditividade finita). Por substitui\c c\~ao, $ Pr(h) = Pr(h \land e) + Pr(h \land \lnot e) $. Por seu turno, $ Pr(h \land e) = Pr(h \mid e) \times Pr(e) $ e $ Pr(h \land \lnot e) = Pr(h \mid \lnot e) \times Pr(\lnot e) $ (pela defini\c c\~ao de probabilidade condicional). Assim, $ Pr(h) = Pr(h \mid e) \times Pr(e) + Pr(h \mid \lnot e) \times Pr(\lnot e) $. Substituindo em ($ l $), $ \frac{Pr(h \mid e) \ - \ [Pr(h \mid e) \times Pr(e) \ + \ Pr(h \mid \lnot e) \times Pr(\lnot e)]}{Pr(\lnot e)} $. Assim, fazendo uma altera\c c\~ao no numerador, $ \frac{[Pr(h \mid e) \ - \ Pr(h \mid e) \times Pr(e)] \ - \ Pr(h \mid \lnot e) \times Pr(\lnot e)}{Pr(\lnot e)} $. Por uma regra de fatora\c c\~ao, $ (a - a \times b) = a \times (1 - b) $, consegue-se $ \frac{Pr(h \mid e) \times [1 - Pr(e)] \ - \ Pr(h \mid \lnot e) \times Pr(\lnot e)}{Pr(\lnot e)} $. Uma vez que $ Pr(\lnot e) = 1 - Pr(e) $, $ \frac{Pr(h \mid e) \times Pr(\lnot e) \ - \ Pr(h \mid \lnot e) \times Pr(\lnot e)}{Pr(\lnot e)} $. Portanto, $ Pr(h \mid e) - Pr(h \mid \lnot e) $, que \'e a medida de confirma\c c\~ao $ s $. Tal medida seria uma alternativa na resolu\c c\~ao do problema da evid\^encia antiga, uma vez que o resultado da medida $ s $ ainda pode ser positivo, ao passo que $ d $ tem valor minimal $ 0 $. N\~ao obstante, parece correto afirmar, tal como Earman (1992, p. 121) o faz, que $ s $ n\~ao \'e uma medida de confirma\c c\~ao apropriada. Se mantivermos as condi\c c\~oes anteriores de que $ h $ acarreta $ e $, $ Pr(h \mid e) =  Pr(h) $ e $ Pr(e) = 1 $ em $ t' $, temos $ s(h,e) = Pr(h) - Pr(h \mid \lnot e) $. A situa\c c\~ao agrava-se ainda mais no que diz respeito \`a medida de confirma\c c\~ao $ s $ porque, ao fim e ao cabo, se $ Pr(h \mid \lnot e) = 0 $ em $ t' $, ent\~ao $ s(h, e) = Pr(h) $. Nesse sentido, a evid\^encia $ e $ n\~ao desempenharia nenhum papel de confirma\c c\~ao de $ h $, ainda que o valor da medida $ s $ possa ser positivo, ou seja, mesmo que $ s(h, e) > 1 $. Parece ser o caso que $ s $ \'e, de fato, uma medida inapropriada. Considerando as condi\c c\~oes estabelecidas anteriormente, temos $ Pr(e) = 1 $ e $ Pr(e \mid h) = 1 $ em $ t' $. Se $ Pr(\lnot e) = 1 - Pr(e) $ e $ Pr(e) = 1 $, ent\~ao $ Pr(\lnot e) = 0 $. Se $ Pr(e \mid h) = 1 $, ent\~ao $ Pr(\lnot e \mid h) = 0 $ porque $ Pr(\lnot e \mid h) = 1 - Pr(e \mid h) $. Por sua vez, $ Pr(h \mid \lnot e) = \frac{Pr(h \ \land \ \lnot e)}{Pr(\lnot e)} $. Se, al\'em de $ Pr(\lnot e) = 0 $, $ Pr(h \land \lnot e) = 0 $, ent\~ao $ Pr(h \mid \lnot e) = \frac{0}{0} $. H\'a boas raz\~oes, entretanto, para considerar que o valor de uma divis\~ao de \emph{zero} por \emph{zero} \'e matematicamente indeterminada. Suponha que $ x \times 0 = 0 $ tal que $ \forall x \in \Re $. Se $ \frac{0}{0} = a $ e, multiplicando $ 0 $ nos dois lados da equa\c c\~ao, $ \frac{0}{0} \times 0 = a \times 0 $, consegue-se $ 0 = a \times 0 $, sendo que $ a $ pode ser qualquer n\'umero que pertence ao conjunto dos n\'umeros reais. Portanto, $ a $ \'e indeterminado.

\section{Considera\c c\~oes Finais}
\hspace{1.25cm} Probabilismo e Bayesianismo prop\~oem uma teoria formalmente elegante, combinando aspectos \emph{sincr\^onicos} e \emph{diacr\^onicos} sobre o modelo de graus de cren\c ca para agentes dox\'asticos. Considera\c c\~oes e distin\c c\~oes conceituais foram inicialmente expostas, procurando fornecer os elementos b\'asicos do \emph{calculus} probabil\'istico e caracterizando a interpreta\c c\~ao subjetiva da fun\c c\~ao de probabilidades. Ap\'os a explica\c c\~ao da rela\c c\~ao entre quocientes de apostas e graus de cren\c ca, o n\'ucleo da teoria foi propriamente alcan\c cado: o \emph{Dutch Book}, o princ\'ipio principal, os princ\'ipios de \emph{condicionaliza\c c\~ao} $ \S1 $ e $ \S2 $, o teorema de Bayes e a teoria de confirma\c c\~ao Bayesiana. Vimos, todavia, que o probabilismo e o Bayesianismo n\~ao est\~ao imunes a severas cr\'iticas. O problema da evid\^encia antiga \'e verdadeiramente o \emph{calcanhar de Aquiles} do Bayesianismo, sobretudo em rela\c c\~ao \`as medidas de confirma\c c\~ao, embora nem todas as medidas tenham sido avaliadas neste artigo. Em todo caso, respostas mais convincentes aos problemas formulados precisam ser empreendidas pelo probabilismo e o Bayesianismo se estes pretendem ser uma teoria robusta em epistemologia.

\appendix
\section{Ap\^endice: Demonstra\c c\~ao de Teoremas}
\textbf{Equival\^encias l\'ogicas}:\newline
($ a $) $ p \equiv [(p \land q) \lor (p \land \lnot q)] $\newline
($ b $) $ q \equiv [(p \land q) \lor (\lnot p \land q)] $\newline
($ c $) $ (p \lor q) \equiv [(p \land q) \lor (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)] $\newline

\textbf{Teorema \S1}: Se $ p \equiv q $, ent\~ao $ Pr(p) = Pr(q) $.\newline
\textbf{Prova}: se $ p \equiv q $, ent\~ao $ p \lor \lnot q $ \'e uma tautologia. Assim, pelo axioma (2'), $ Pr(p \lor \lnot q) = 1 $. Pelo axioma (3) de aditividade finita, $ Pr(p) + Pr(\lnot q) = Pr(p \lor \lnot q) $, pois $ p $ e $ \lnot q $ s\~ao mutuamente exclusivas, uma vez que $ p \equiv q $. Por conseguinte, $ Pr(p) + Pr(\lnot q) = 1 $. Pelo axioma (2'), $ Pr(q \lor \lnot q) = 1 $, pois $ q \lor \lnot q $ \'e uma tautologia. Assim, pelo axioma (3), $ Pr(q \lor \lnot q) = Pr(q) + Pr(\lnot q) $, pois $ q $ e $ \lnot q $ s\~ao mutuamente exclusivas. Por conseguinte, $ Pr(q) + Pr(\lnot q) = 1 $. Deriva-se da f\'ormula anterior que $ Pr(\lnot q) = 1 - Pr(q) $. Substituindo em $ Pr(p) + Pr(\lnot q) = 1 $, segue-se que $ Pr(p) + 1 - Pr(q) = 1 $. Portanto, $ Pr(p) = Pr(q) $.\newline
\\
\textbf{Teorema \S2}: $ Pr(p \lor q) = Pr(p) + Pr(q) - Pr(p \land q) $.\newline
\textbf{Prova}: pelo teorema \S1 e equival\^encia ($ a $), $ Pr(p) = Pr[(p \land q) \lor (p \land \lnot q)] $. Pelo axioma (3), $ Pr[(p \land q) \lor (p \land \lnot q)] = Pr(p \land q) + Pr(p \land \lnot q) $, pois $ p \land q $ e $ p \land \lnot q $ s\~ao mutuamente exclusivas. Assim, $ Pr(p) = Pr(p \land q) + Pr(p \land \lnot q) $ ($ z $). Pelo teorema \S1 e equival\^encia ($ b $), $ Pr(q) = Pr[(p \land q) \lor (\lnot p \land q)] $. Uma vez que $ p \land q $ e $ \lnot p \land q $ s\~ao mutuamente exclusivas, segue-se que $ Pr[(p \land q) \lor (\lnot p \land q)] = Pr(p \land q) + Pr(\lnot p \land q) $ pelo axioma (3). Por conseguinte, $ Pr(q) = Pr(p \land q) + Pr(\lnot p \land q) $ ($ s $). Pelo teorema \S1 e equival\^encia ($ c $), $ Pr(p \lor q) = Pr[(p \land q) \lor (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)] $. Uma vez que $ p \land q $, $ p \land \lnot q $ e $ \lnot p \land q $ s\~ao mutuamente exclusivas, segue-se que $ Pr[(p \land q) \lor (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)] = Pr(p \land q) + Pr(p \land \lnot q) + Pr(\lnot p \land q) $ pelo axioma (3). Assim, $ Pr(p \lor q) = Pr(p \land q) + Pr(p \land \lnot q) + Pr(\lnot p \land q) $ ($ r $). Consegue-se de ($ z $) que $ Pr(p \land q) = Pr(p) - Pr(p \land \lnot q) $. Consegue-se de ($ s $) que $ Pr(\lnot p \land q) = Pr(q) - Pr(p \land q) $. Substituindo em ($ r $), segue-se que $ Pr(p \lor q) = Pr(p) - Pr(p \land \lnot q) + Pr(q) - Pr(p \land q) + Pr(p \land \lnot q) $. Portanto, $ Pr(p \lor q) = Pr(p) + Pr(q) - Pr(p \land q) $.\newline
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\textbf{Teorema \S3}: Se $ p \vDash q $, ent\~ao $ Pr(p) \leq Pr(q) $.\newline
\textbf{Prova}: se $ p \vDash q $, ent\~ao $ p \equiv (p \land q) $. Assumindo que $ p \vDash q $, $ Pr(p) = Pr(p \land q) $ ($ n $) pelo teorema \S1 . Assim, pela equival\^encia ($ b $) e pelo teorema \S1, $ Pr(q) = Pr[(p \land q) \lor (\lnot p \land q)] $. Pelo axioma (3), $ Pr[(p \land q) \lor (\lnot p \land q)] = Pr(p \land q) + Pr(\lnot p \land q) $, pois $ p \land q $ e $ \lnot p \land q $ s\~ao mutuamente exclusivas. Segue-se, assim, que $ Pr(q) = Pr(p \land q) + Pr(\lnot p \land q) $. Por conseguinte, usando ($ n $), segue-se que $ Pr(q) = Pr(p) + Pr(\lnot p \land q) $. Se $ Pr(\lnot p \land q) = 0 $, ent\~ao $ Pr(q) = Pr(p) $. Se $ Pr(\lnot p \land q) > 0 $, ent\~ao $ Pr(q) > Pr(p) $. Portanto, $ Pr(p) \leq Pr(q) $.\newline
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\textbf{Teorema \S4}: $ Pr(p) = [Pr(q) \times Pr(p \mid q)] + [Pr(\lnot q) \times Pr(p \mid \lnot q)] $, dado que $ 1 > Pr(q) > 0 $.\newline
\textbf{Prova}: Suposi\c c\~ao de que $ 1 > Pr(q) > 0 $. Pelo teorema \S1 e equival\^encia ($ a $), segue-se que $ Pr(p) = Pr[(p \land q) \lor (p \land \lnot q)] $. Pelo axioma (3), $ Pr[(p \land q) \lor (p \land \lnot q)] = Pr(p \land q) + Pr(p \land \lnot q) $, pois $ p \land q $ e $ p \land \lnot q $ s\~ao mutuamente exclusivas. Assim, $ Pr(p) = Pr(p \land q) + Pr(p \land \lnot q) $ ($ g $). Pela defini\c c\~ao de probabilidade condicional, $ Pr(p \mid q) = \frac{Pr(p \ \land \ q)}{Pr(q)} $. Por conseguinte, $ Pr(p \land q) = Pr(p \mid q) \times Pr(q) $. $ Pr(p \mid \lnot q) = \frac{Pr(p \ \land \ \lnot q)}{Pr(\lnot q)} $ pela defini\c c\~ao de probabilidade condicional. Assim, $ Pr(p \land \lnot q) = Pr(p \mid \lnot q) \times Pr(\lnot q) $. Portanto, substituindo em ($ g $), $ Pr(p) = [Pr(q) \times Pr(p \mid q)] + [Pr(\lnot q) \times Pr(p \mid \lnot q)] $.\newline
\\
\textbf{Teorema \S5}: \begin{displaymath}
Pr(h \mid e) = \frac{Pr(h) \times Pr(e \mid h)}{[Pr(h) \times Pr(e \mid h)] + [Pr(\lnot h) \times Pr(e \mid \lnot h)]}
\end{displaymath} dado que $ Pr(e) > 0 $.\newline
\textbf{Prova}: Suposi\c c\~ao de que $ Pr(e) > 0 $. $ Pr(h \mid e) = \frac{Pr(h \ \land \ e)}{Pr(e)} $ e $ Pr(e \mid h) = \frac{Pr(e \ \land \ h)}{Pr(h)} $ pela defini\c c\~ao de probabilidade condicional. Assim, $ Pr(e \land h) = Pr(e \mid h) \times Pr(h) $. Por conseguinte, uma vez que $ h \land e $ e $ e \land h $ s\~ao logicamente equivalentes, $ Pr(h \mid e) = \frac{Pr(e \ \mid \ h) \ \times \ Pr(h)}{Pr(e)} $. Pelo teorema \S4, $ Pr(e) = [Pr(h) \times Pr(e \mid h)] + [Pr(\lnot h) \times Pr(e \mid \lnot h)] $. Portanto, depreende-se que $ Pr(h \mid e) = \frac{Pr(h) \ \times \ Pr(e \ \mid \ h)}{[Pr(h) \ \times \ Pr(e \ \mid \ h)] \ + \ [Pr(\lnot h) \ \times \ Pr(e \ \mid \ \lnot h)]} $ \ .\newline
\\
\textbf{Teorema \S6}: \begin{displaymath}
Pr(h \mid e \land k) = \frac{Pr(h \mid k) \times Pr(e \mid h \land k)}{Pr(e \mid k)}
\end{displaymath} dado que $ Pr(e \mid k) > 0 $.\newline
\textbf{Prova}: Suposi\c c\~ao de que $ Pr(e \mid k) > 0 $. $ Pr(h \mid e \land k) = \frac{Pr(h \ \land \ e \ \land \ k)}{Pr(e \ \land \ k)} $ e $ Pr(e \mid h \land k) = \frac{Pr(e \ \land \ h \ \land \ k)}{Pr(h \ \land \ k)} $ pela defini\c c\~ao de probabilidade condicional. Por conseguinte, $ Pr(e \land h \land k) = Pr(e \mid h \land k) \times Pr(h \land k) $. Assim, uma vez que $ e \land h \land k $ e $ h \land e \land k $ s\~ao equivalentes, $ Pr(h \mid e \land k) = \frac{Pr(e \ \mid \ h \ \land \ k) \ \times \ Pr(h \ \land \ k)}{Pr(e \ \land \ k)} $. $ Pr(h \mid k) = \frac{Pr(h \ \land \ k)}{Pr(k)} $ e $ Pr(e \mid k) = \frac{Pr(e \ \land \ k)}{Pr(k)} $ pela defini\c c\~ao de probabilidade condicional. Assim, $ Pr(h \land k) = Pr(h \mid k) \times Pr(k) $ e $ Pr(e \land k) = Pr(e \mid k) \times Pr(k) $. Por conseguinte, $ Pr(h \mid e \land k) = \frac{Pr(e \ \mid \ h \ \land \ k) \ \times \ Pr(h \ \mid \ k) \ \times \ Pr(k)}{Pr(e \ \mid \ k) \ \times \ Pr(k)} $. Portanto, $ Pr(h \mid e \land k) = \frac{Pr(h \ \mid \ k) \ \times \ Pr(e \ \mid \ h \ \land \ k)}{Pr(e \ \mid \ k)} $ \ .


\bibliography{refer}





\end{document}